makalah

MAKALAH

“SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL”

Oleh Kelompok 5;

TOPAN TULUNGEN

MARGARETA TATU

UNIVERSITAS NEGERI MANADO

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN PEND. MATEMATIKA

2011

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur patut dipanjatkan kehadirat TUHAN YANG MAHA ESA atas rahmat Nya sehingga kelompok kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini.

Makalah ini dibuat untuk melengkapi tugas pada mata kuliah Kajian dan Pengembangan Matematika sekolah lanjutan 2, dan sebagai referensi untuk menembah pengetahuan mengenai Sistem persamaan dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel.

Kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini sangat memerlukan kehati-hatian dalam penulisannya . karena itulah kami menyadari banyak kekurangan dalam makalah ini dan kami masih membutuhkan kritikdan saran dari banyak pihak.

Selanjutnya kami merasa patut menyampaikan terimakasih kepada berbagai pihak baik secara langsung maupun tidak langsung telah memberikan bantuan kepada kelompok kami dalam penyusunan makalah ini.

Akhirnya kami mengucapkan banyak terimakasih dan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

                                                                   Tondano,   3  maret 2011

                                                                             Kelompok  5

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR…………………………………………………………….….1i

DAFTAR ISI…………………………………………………………………………2i

BAB I PENDAHULUAN

            I.A       LATAR BELAKANG………………………………………………..1

            I.B       TUJUAN …………………………………………………………….1

            I.C       MANFAAT ………………………………………………………….1

BAB II PEMBAHASAN

            II.1.     SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL………………2

            II.1.A  PENGERTIAN SPLDV ……………………………………………..2

            II.1.B  PENYELESAIAN SPLDV………………………………………….4

            II.1.C  PENERAPAN SPLDV ………………………………………………11

            II.2      SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL………12

BAB III PENUTUP

                        KESIMPULAN ………………………………………………………16

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………..17

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Matematika memegang peranan penting dalam pemecahan masalah di setiap bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang. Salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan hal itu dan banyak digunakan dalam bidang sains, bisnis, ekonomi adalah sistem persamaan linear. Contohnya, untuk menghasilkan bangunan yang kuat, dibutuhkan rancangan struktur bangunan yang bagus. Begitu pula bahan-bahan penyusunnya harus dikombinasikan dengan formula yang tepat. Artinya bahan-bahan yang digunakan harus benar-benar proporsional. Jangan sampai ada salah satu bahan yang kurang sehingga menyebabkan bangunan tersebut kurang kokoh sehingga cepat rusak. Salah satu cara untuk mencari komposisi yang tepat adalah dengan menggunakan persamaan linear. Masalah yang lain adalah untuk mengatasi penganguran dinegara kita, pihak pemegang modal harus menciptakan lapangan kerja lebih dari atau sama dengan jumlah angkatan kerja. Hal ini dapat diselesaikan dengan konsep system pertidaksamaan linear.

A.    TUJUAN

-          Mengetahui dan mempelajari sistem persamaan linear dua variabel

-          Mengetahui dan mempelajari sistem pertidaksamaan linear dua variabel

-          Mengetahui, Merancang model matematika dari kedua sistem tersebut

-          Memenuhi tugas M.k kajian dan pengembangan matematika SL 2.

B.     MANFAAT

-          Dapat mengetahui sistem persamaan linear dua variabel

-          Dapat mengetahui sistem pertidaksamaan linear dua variabel

-          Dapat mengetahui model matematika dari dari berbagai soal cerita

-          Menambah wawasan tentang sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel.

BAB II

PEMBAHASAN

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV).

A. Pengertian SPLDV

Untuk memahami pengertian dan konsep dasar SPLDV, ada baiknya mengulang kembali materi tentang persamaan linear satu variabel.

1. Persamaan Linear Satu Variabel.

Bentuk-bentuk persamaan tersebut memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk persamaan seperti inilah yang dimaksud dengan linear satu variabel.

Contoh;

Jadi, diperoleh nilai x = 4 dan himpunan penyelesaian, Hp = {4}.

2. Persamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum persamaan linear dua variable (PLDV) dengan variabel x dan y dapat dinyatakan  sebagai berikut;

 ax + by = c dengan a,b dan c  R

Perhatikan bentuk-bentuk persamaaan berikut.

Persamaan-persamaan tersebut memiliki dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk inilah yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi, persamaan linear dua variabel adalah persamaan yang hanya memiliki dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu.

3. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Definisi;

Sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) adalah sistem persamaan yang mempunyai bentuk sebagai berikut;

     a₁x+b₁y=c₁

       a₂x+b₂y=c₂

Dengan a_1, a_2, b_1, b_2, dan c_1, c₂  adalah bilangan Real.

Contoh SPLDV;

Berbeda dengan persamaan dua variabel, SPLDV memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaian yang harus memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. Contoh, perhatikan sistem SPLDV berikut.

Penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah mencari nilai-nilai x dan y yang dicari demikian sehingga memenuhi kedua persamaan linear.

Tabel ini  menjelaskan bahwa persamaan linear 2x + y = 6 memiliki 4 buah penyelesaian. Adapun persamaan linear x + y = 5 memiliki 6 buah penyelesaian. Manakah yang merupakan penyelesaian dari 2 x + y = 6 dan x + y = 5? Penyelesaian adalah nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan linear tersebut. Perhatikan dari Tabel,  nilai x = 1 dan y = 4 sama-sama memenuhi penyelesaian dari kedua persamaan linear tersebut. Jadi, dapat dituliskan:

B. Penyelesaian SPLDV

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, SPLDV adalah persamaan yang memiliki dua buah persamaan linear dua variabel. Penyelesaian SPLDV dapat ditentukan dengan cara mencari nilai variabel yang memenuhi kedua persamaan linear dua variabel tersebut. Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana cara menentukan penyelesaian suatu SPLDV dengan menggunakan tabel, namun cara seperti itu membutuhkan waktu yang cukup lama. Untuk itu, ada beberapa
metode yang dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian SPLDV.
Metode-metode tersebut adalah:

1. Metode Grafik

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan SPLDV? Ingat, SPLDV terdiri atas dua buah persamaan dua variabel, berarti SPLDV digambarkan berupa dua buah garis lurus. Penyelesaian dapat ditentukan dengan menentukan titik potong kedua garis lurus tersebut

Contoh 1;

 

 

 

 

 

Titik potong garis x+y=2, dan 3x+y=6 adalah (2,0).

Jadi Hp={(2,0)}.

Contoh 2;

Titik potong antara garis 3x-y=6 dan x-y=1 adalah (2¹/_2,1¹/₂).

Jadi, Hp={(2¹/_2,1¹/₂).

 

 

2. Metode Substitusi

Penyelesaian SPLDV menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.

Contoh ;

 

 

 

3. Metode Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain.

Contoh;

Contoh 2;

4. Metode campuran (eliminasi dan subtitusi)

5. Metode determinan matriks dengan aturan Cramer

 

 

 

 

 

 

C. Penerapan SPLDV

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan-permasalahan yang dapat dipecahkan menggunakan SPLDV. Pada umumnya, permasalahan tersebut berkaitan dengan masalah aritmetika sosial. Misalnya, menentukan harga satuan barang, menentukan panjang atau lebar sebidang tanah, dan lain sebagainya. Contoh;

Jadi,  x=harga 1kg beras=Rp 4.000,

         y=harga 1 kg minyak goreng=Rp 2.500

2. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Definisi;

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematik yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah  >, <, ≤, ≥.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut memiliki dua variabel yang brderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan.

Bentuk umum pertidaksamaan linear dua variabel sama dengan bentuk umum persamaan linear dua variabel. Bedanya hanya terletak pada tanda ketidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel;

ax+by>c

ax+by>c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan ;

a = koefisien dari x, a≠0

b = koefisien dari y, b≠0

c = konstanta

a,b dan c anggota bilangan real.

A.   menentukan himpunan peyelesaian sistem pertidaksmaan linear dua variabel dengan grafik

Contoh :

Selesaikan bentuk pertidaksamaan 3x + y – 6< 0.
Jawab :

Sebelum mencari daerah arsiran atau himpunan dari pertidaksamaan di atas, terlebih dahulu kita akan menggambarkan garis lurus,

Untuk x = 0, maka 3.(0) + y = 6

              y=6

Jadi titik koordinatnya adalah (0, 6)
Untuk y = 0 , sama seperti di atas, sehingga diperoleh;

3x + 0 = 6

3x = 6 – 0

 x=2

Jadi titik koordinatnya adalah (2, 0)

Maka grafik garis lurus dapat kita gambarkan

 

6
		2

Setelah gambar diperoleh, kita akan menetapkan daerah arsiran tetapi sebelumnya kita

akan mencari nilai-nilai peubah yang menyebabkan bentuk pertidaksamaan di atas menjadi kalimat yang benar. Kita pilih titik (0, 0) kemudian kita substitusikan ke

bentuk pertidaksamaan 3x + y – 6< 0. sehingga diperoleh:

3.0 + 0 – 6< 0

             -6< 0

Pernyataam di atas merupakan pernyataan yang benar. Maka daerah arsirannya adalah daerah dimana terdapat titik (0, 0). Maka himpunan penyelesaiannya adalah

{(x, y);3x + y – 6< 0 }. Untuk daerah arsiran tampak pada gambar berikut:

 

6
		2

Pada sistem pertidaksamaan linear dengan dua peubah terdiri dari beberapa pertidaksamaan, bisa dua atau lebih asalkan sama-sama merupakan pertidaksamaan linear dengan dua peubah.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut:

x + 2y< 4

2x – y≥ 1

Jawab:

Untuk menentukan himpunan penyelesaian di atas, tentukan terlebih dahulu himpunan penyelesaian pertidaksamaan masing-masing kemudian dicari irisan dari keduanya yaitu yang diarsir dua kali.

x + 2y< 4…………….. (1)

2x – y≥ 1…………….. (2)

Untuk persamaan (1):

Kita akan membuat gambar garis lurus terlebih dahulu

Untuk x = 0, maka diperoleh: (0) + 2y = 4

y =2

titik koordinatnya (0, 2)

untuk y = 0, maka diperoleh: x + 2.(0) = 4

x =4

titik koordinat (4, 0)

Maka gambar garis lurusnya dan arsirannya  adalah:

 

2
				4

Untuk pertidaksamaan (2):
Kita akan membuat gambar garis lurusnya.
Untuk x = 0, maka diperoleh:

0 – y =1

            y = -1

titik koordinatnya (0, -1)

untuk y = 0, maka diperoleh:

x – 0 =1

     x =1

titik koordinatnya (1, 0)

maka gambar garis lurusnya dan daerah arsirannya adalah

	1
-1

Jadi,

 

{x,y; x+2y<4,  2x-y≥1,  x,y€R}

Contoh 2,

Gambarkan himpunan penyelesaian bagi system pertidaksamaan berikut;

2x-3y≤4,   5x+4y≤20,   x≥0,   y≤3,   y≥¹/₂

				5x+4y=20
	Y=3

 

{x.y; 2x-3y≤4,   5x+4y≤20,   x≥0,   y≤3,   y≥¹/₂ ,( x,y)€R)

BAB III

KESIMPULAN

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan yang mempunyai bentuk sebagai berikut;

     a₁x+b₁y=c₁

       a₂x+b₂y=c₂

Dengan a_1, a_2, b_1, b_2, dan c_1, c₂  adalah bilangan Real.

Dengan x dan y adalah penyelesaian  apabila keduanya memenuhi persamaan tersebut. Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dapat digunakan cara;

1.    Metode grafik,

2.    Metode eliminasi,

3.    Metode subtitusi,

4.    Metode campuran,

5.    Metode determinan matriks dengan aturan Cramer

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematik yang memuat dua variabel, dengan masing-masing variabel berderajat satu dan dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah  >, <, ≤, ≥.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem yang terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan dan setiap pertidaksamaan tersebut memiliki dua variabel yang brderajat satu dan dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan. Bentuk umum dari pertidaksamaan linear dua variabel;

ax+by>c

ax+by>c

ax+by≥c

ax+by≤c

dengan ;

a = koefisien dari x, a≠0

b = koefisien dari y, b≠0

c = konstanta

a,b dan c anggota bilangan real.

DAFTAR PUSTAKA

Purcell, Edwin. J. 1992. Kalkulus dan geometri analitik. Jakarta : Erlangga.

Marwanta. 2009. Matematika SMA kelas X. Jakarta: yudhistira.

Nasution, andy hakim. 1996. Matematika SMA kelas 2. Departemen pendidikan dan kebudayaan.

http://id.crayonpedia.org/sistem  persamaan dan pertidaksamaan linear dua variiabel. (2 maret 2011)

http://www.findtoyou.com// SPLDV. (2 maret 2011)