Kamis, 17 November 2011

asessment pembelajaran


PENGUKURAN, PENILAIAN DAN EVALUASI

A.    PENGUKURAN

Pengukuran (measurement) adalah proses pemberian angka atau usaha memperoleh deskripsi numeric dari suatu tingkatan dimana seseorang peserta didik telah mencapai karakteristik tertentu. Pengukuran berkaitan erat dengan proses pencarian atau penentuan nilai kuantitatif.

 Pengukuran diartikan sebagai pemberian angka kepada suatu atribut atau karakteristik tertentu yang dimiliki oleh orang, hal, atau obyek tertentu menurut aturan atau formulasi yang jelas.

Pengukuran adalah penentuan besaran, dimensi, atau kapasitas, biasanya terhadap suatu standar atau satuan pengukuran. Pengukuran tidak hanya terbatas pada kuantitas fisik, tetapi juga dapat diperluas untuk mengukur hampir semua benda yang bisa dibayangkan, seperti tingkat ketidakpastian, atau kepercayaan konsumen.

Menurut para ahli, definisi pengukuran yaitu:
a.       Menurut William Shockley pengukuran adalah perbandingan dengan standar.
b.      Menurut Buana (www.fajar.co.id/news.php). Pengukuran adalah suatu kegiatan untuk mengetahui informasi atau data secara kuantitatif. Pengukuran tidak melibatkan pertimbangan mengenai baik-buruknya, tidak menentukan siapa yang lulus dan tidak lulus.
c.       Menurut Rusli Lutan (2000:21) pengukuran ialah proses pengumpulan informasi.
d.      Menurut Gronlund yang dikutip Sridadi (2007) pengukuran : suatu kegiatan atau proses untuk memperoleh deskripsi numerik dan tingkatan atau derajat karakteristik khusus yang dimiliki
e.       Menurut Allen Philips (1979: 1-2) a measure is the score that has been assigned on the basis of a test. ( Pengukuran adalah mencetak prestasi yang telah ditugaskan atas dasar suatuperjanjian.)
f.       Menurut Kerlinger yang dikutip Sridadi (2007) pengukuran : sebagai pemberian angka-angka pada obyek atau kejadian-kejadian menurut suatu aturan tertentu.
g.      Menurut Sridadi (2007) pengukuran adalah suatu proses yang dilakukan secara sistematis untuk memperoleh besaran kuantitatif dari suatu obyek tertentu dengan menggunakan alat ukur yang baku.
h.      menurut Wolf (1984: 7) Measurement is the act of process of measuring.
(Pengukuran adalah tindakan dari proses dari mengukur.)
jadi, Pengukuran adalah proses pemberian angka-angka atau label kepada unit analisis untuk merepresentasikan atribut-atribut konsep. Proses ini seharusnya cukup dimengerti orang walau misalnya definisinya tidak dimengerti. Hal ini karena antara lain kita sering kali melakukan pengukuran.

B.     PENILAIAN
Penilaian (assessment) merupakan istilah yang umum dan mencakup semua metode yang biasa dipakai untuk mengetahui keberhasilan belajar siswa dengan cara menilai unjuk kerja individu peserta didik atau kelompok.
Penilaian (assessment) adalah penerapan berbagai cara dan penggunaan beragam alat penilaian untuk memperoleh informasi tentang sejauh mana hasil belajar peserta didik atau ketercapaian kompetensi (rangkaian kemampuan) peserta didik. Penilaian menjawab pertanyaan tentang sebaik apa hasil atau prestasi belajar seorang peserta didik.Hasil penilaian dapat berupa nilai kualitatif (pernyataan naratif dalam kata-kata) dan nilai kuantitatif (berupa angka). Pengukuran berhubungan dengan proses pencarian atau penentuan nilai kuantitatif tersebut.
Penilaian adalah kegiatan menentukan nilai suatu objek, seperti baik-buruk, efektif-tidak efektif, berhasil-tidak berhasil, dan semacamnya sesuai dengan kriteria atau tolak ukur yang telah ditetapkan sebelumnya.
Menurut para ahli, definisi penilaian yaitu:
a. Menurut Buana, assessment adalah alih-bahasa dari istilah penilaian. Penilaian digunakan dalam konteks yang lebih sempit daripada evaluasi dan biasanya dilaksanakan secara internal. Penilaian atau assessment adalah kegiatan menentukan nilai suatu objek, seperti baik-buruk, efektif-tidak efektif, berhasil-tidak berhasil, dan semacamnya sesuai dengan kriteria atau tolak ukur yang telah ditetapkan sebelumnya.
b. Menurut www.elook.org/dictionary/assessment.htm Definition of assessment: the classification of someone or something with respect to its worth.( Definisi dari penilaian adalah penggolongan seseorang atau sesuatu berkenaan dengan harganya.)
c. Menurut Angelo (1991: 17) Classroom Assessment is a simple method faculty can use to collect feedback, early and often, on how well their students are learning what they are being taught. (Penilaian Kelas adalah suatu metode yang sederhana dapat menggunakan fakultas (sekolah) untuk mengumpulkan umpan balik, awal dan setelahnya, pada seberapa baik para siswa mereka belajar apa yang mereka ajarkan.)
d. Menurut Suharsimi yang dikutip oleh Sridadi(2007) penilaian adalah suatu usaha yang dilakukan dalam pengambilan keputusan terhadap sesuatu dengan ukuran baik-buruk →
bersifat kualitatif.
e. Menurut Depag yang dikutip Sridadi (2007) penilaian adalah suatu usaha untuk mengumpulkan berbagai informasi secara berkesinambungan dan menyeluruh tentang proses dan hasil belajar yang telah dicapai oleh siswa melalui kegiatan belajar mengajar yang ditetapkan sehingga dapat dijadikan dasar untuk menentukan langkah selanjutnya.
f. Menurut Rusli Lutan (2000:9) assessment termasuk pelaksanaan tes dan evaluasi. Asessment bertujuan untuk menyediakan informasi yang selanjutkan digunakan untuk keperluan informasi.
Penilaian hasil belajar pada dasarnya adalah mempermasalahkan, bagaimana pengajar (guru) dapat mengetahui hasil pembelajaran yang telah dilakukan. Pengajar harus mengetahui sejauh mana pebelajar (learner) telah mengerti bahan yang telah diajarkan atau sejauh mana tujuan/kompetensi dari kegiatan pembelajaran yang dikelola dapat dicapai. Tingkat pencapaian kompetensi atau tujuan instruksional dari kegiatan pembelajaran yang telah dilaksanakan itu dapat dinyatakan dengan nilai.

 

Penilaian menyeluruh dan berkelanjutan dalam Konsep Penilaian dari Implementasi peraturan pemerintah No. 19 tahun 2005 tentang Standar Nasional Pendidikan, membawa implikasi terhadap model dan tehnik penilaian proses dan hasil belajar. Pelaku penilaian terhadap proses dan hasil belajar diantaranya internal dan eksternal. Penilaian internal merupakan penilaian yang dilakukan dan direncanakan oleh guru pada saat pembelajaran berlangsung. Sedangkan penilaian eksternal merupakan penilaian yang dilakukan oleh pihak luar yang tidak melaksanakan proses pembelajaran, biasanya dilakukan oleh suatu institusi / lembaga baik didalam maupun diluar negeri. Penelitian yang dilakukan lembaga / institusi tersebut dimaksudkan sebagai pengendali mutu proses dan hasil belajar peserta didik.
Metode dan tehnik penilaian sebagai bagian dari penilaian internal (internal assessment) untuk mengetahui proses dan hasil belajar peserta didik terhadap penguasaan kompetensi yang diajarkan oleh guru. Hal ini bertujuan untuk mengukur tingkat ketercapaian ketuntasan kompetensi oleh peserta didik.
Ada empat macam istilah yang berkaitan dengan konsep penilaian dan sering kali digunakan untuk mengetahui keberhasilan belajar dari peserta didik yaitu pengukuran, pengujian, penilaian dan evaluasi. Namun diantara keempat istilah tersebut pengertiannya masih sering dicampuradukan, padahal keempat istilah tersebut memiliki pengertian yang berbeda.
Prinsip penilaian
  1. Prinsip keseluruhan (integritas); prinsip ini menghendaki bahwa suatu penilaian harus mempertimbangkan seluruh aspek yang berhubungan dengan pribadi siswa atau objek yang akan dinilai
  2. Prinsip berkesinambungan kontinuitas; menurut prinsip ini penilaian merupakan proses yang terus menerus.
  3. Prinsip kesesuaian (objektivitas); penilaian yang baik harus didasarkan atas kenyataan yang sebenarnya dan sesuai dengan kenyataan yang terdapat pada siswa.

C.    EVALUASI
Menurut pengertian bahasa kata evaluasi berasal dari bahasa Inggris evaluation yang berarti penilaian atau penaksiran (John M. Echols dan Hasan Shadily: 1983). Menurut Stufflebeam, dkk (1971) mendefinisikan evaluasi sebagai “The process of delineating, obtaining, and providing useful information for judging decision alternatives”. Artinya evaluasi merupakan proses menggambarkan, memperoleh, dan menyajikan informasi yang berguna untuk merumuskan suatu alternatif keputusan. Evaluasi adalah kegiatan mengukur dan menilai. Mengukur lebih besifat kuantitatif, sedangkan menilai lebih bersifat kualitatif.
     
Viviane dan Gilbert de Lansheere (1984) menyatakan bahwa evaluasi adalah proses penentuan apakah materi dan metode pembelajaran telah sesuai dengan tujuan yang diharapkan. Penentuannya bisa dilakukan salah satunya dengan cara pemberian tes kepada pembelajar. Terlihat disana bahwa acuan tes adalah tujuan pembelajaran.

Evaluasi adalah : suatu proses yang dirancang secara sistematis dan terencana dalam rangka untuk membuat alternatif-alternatif keputusan atas dasar pengukuran dan penilaian yang telah dilakukan sebelumnya.
Menurut para ahli, definisi evaluasi yaitu:
a.       Menurut Rusli Lutan (2000:22) evaluasi merupakan proses penentuan nilai atau kelayakan data yang terhimpun.
b.      Menurut Buana (www.fajar.co.id/news.php). Evaluasi adalah suatu kegiatan atau proses untuk menentukan nilai segala sesuatu dalam dunia pendidikan seperti program pendidikan termasuk perencanaan suatu program, substansi pendidikan seperti kurikulum, pengadaan dan peningkatan kemampuan guru, pengelolaan pendidikan, dan lain-lain.
c.       Menurut Sridadi (2007) evaluasi : suatu proses yang dirancang secara sistematis dan terencana dalam rangka untuk membuat alternatif-alternatif keputusan atas dasar pengukuran dan penilaian yang telah dilakukan sebelumnya.
d.      Allen Philips (1979: 1-2) evaluation is a complex term that often is misused by both teachers and students. It involves making decicions or judgements about students based on the extent to which instructional objectives are achieved by them. (evaluasi adalah suatu istilah kompleks yang sering disalahgunakan oleh para guru dan para siswa. Evaluasi melibatkan pembuatan keputusan atau penghakiman tentang para siswa didasarkan pada tingkat sasaran hasil yang dicapai oleh mereka.
e.       Menurut Sutarsih dan Kadarsih yang dikutip oleh Sridadi (2007) evaluasi : suatu proses untuk memberikan atau menentukan nilai kepada obyek tertentu berdasarkan suatu kriteria tertentu
Fungsi evaluasi
  1. Sebagai alat seleksi
  2. Sebagai alat pengukur keberhasilan
  3. Sebagai alat penempatan
  4. Sebagai alat diagnostik
Tujuan evaluasi
  • Pada fungsi evaluasi (a), bertujuan untuk mendapatkan calon siswa pilihan yang cocok dengan jurusan dan jenjang pendidikan tertentu
  • Pada (b dan d), bertujuan untuk mengetahui seberapa jauh hasil yang telah dicapai dalam proses pendidikan yang telah dilaksanakan
  • Pada (c), bertujuan untuk menentukan pendidikan lanjutan siswa agar sesuai dengan minat, bakat dan kemampuan
  • Untuk menetahui taraf kesiapan siswa dalam memahami bahan pelajarannya
  • Untuk mengetahui taraf efisiensi metode yang digunakan
  • Dalam rangka promosi untuk mendapatkan bahan informasi dalam menentukan siswa untuk naik kelas, atau mengulang pada kelas yang sama

Tujuan evaluasi pendidikan
  • Untuk memberikan umpan balik (feed back) guna memperbaiki proses belajar mengajar
  • Untuk mengetahui hasil kemajuan belajar siswa
  • Untukmenempatkan siswa dalam situasi belajar mengajar yang sesuai dan tepat.
  • Untuk menemukan kesulitan belajar siswa dan factor penyebabnya (diagnostic)
PERBEDAAN PENGUKURAN, PENILAIAN, DAN EVALUASI
























HUBUNGAN ANTARA PENGUKURAN, PENILAIAN, DAN EVALUASI
Mengukur dan menilai adalah proses evaluasi. Dalam istilah asing, pengukuran adalah  Measurement, sedang penilaian adalah Asessment atau sering juga di sebut evaluation dri kata evaluation ini didapat kata evaluasi. Antara pengukuran, penilaian dan evaluasiadalah saling berhubungan dan saling melengkapi. Penilaian tidak bisa dilakukan tanpa didahului pengukuran, dan evaluasi adalah proses dua kegiatan itu sendiri untuk “mengindentifikasi untuk melihat apakah suatu program yang telah direncanakan telah tercapai atau belum, berharga atau tidak, dan dapat pula untuk melihat tingkat efisiensi pelaksanaannya”. Kita mengadakan sebuah pengukuran untuk melihat baik buruknya. Dan evaluasi dilakukan berdasarkan tujuan yang akan dicapai dalam mengukur dan memberikan pertimbangan mengenai nilai ukuran baik buruk suatu kegiatan.

Berikut  visualisasi  bagaimana  hubungan  antara pengukuran, penilaian dan evaluasi itu.












Pengukuran akan suatu hal dilakukan untuk mengadakan sebuah penilaian. Dan proses keduanya ini ter-include dalam proses evaluasi. Pengukuran dilakukan lebih dulu dan di lanjutkan dengan pengadaan sebuah penilaian. Dan evalusi adalah hasil kerja dua proses tersebut. Ini mensyaratkan bahwa antara pengukura, penilaian, dan evaluasi tidak dapat dipisahkan begitu saja.







Sumber :
http:// physicszoneexperiment.weebly.com (31 oktober 2011)
http://Pengertian pengukuran, penilaian dan evaluasi « Adhenarlin's Blog.htm
Arikunto, Suharsimi. 2008. Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan. Jakarta : Bumi Aksara.
Djaali & Muljono, Pudji. 2008. Pengukuran dalam Bidang Pendidikan. Grasindo; Jakarta.
Purwanto, N. (2002). Prinsip-Prinsip Evaluasi Pengajaran. Bandung: Rosda Karya

graph euler


BAB I
PENDAHULUAN
A.    LATAR BELAKANG

Gambar di bawah ini sebuah graf yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota di Provinsi Jawa Tengah.

jembatan-2

Sejarah Graf: masalah jembatan Königsberg (tahun 1736)

Gambar. Masalah Jembatan Königsberg
Bisakah melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula?
B.     TUJUAN


C.     MANFAAT




































BAB II
PEMBAHASAN
A.    Definisi Graph
(Definisi graph secara singkat)
Graph adalah diagram yang terdiri dari noktah-noktah yang disebut titik, dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut yang dinamakan sisi, dan setiap sisi tepat menghubungkan dua titik.
Contoh:
Graf G = (V, E), yang dalam hal ini:
     V  = himpunan tidak-kosong dari titik-titik (vertices)
= { v1 , v2 , ... , vn }
     E = himpunan sisi  (edges) yang menghubungkan sepasang
    simpul
= {e1 , e2 , ... , en }

         G1                                   G2                                    G3
                                   
Gambar: (a) graf sederhana, (b) graf ganda, dan (c) graf semu
Pada Gambar, G1 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4 }
            E =  { (1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }
G2 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4  }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4) }       = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}
G3 adalah graf dengan
V = { 1, 2, 3, 4  }
E = { (1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3) }
= { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}                                                                                
  • Pada G2, sisi  e3 = (1, 3) dan sisi e4 = (1, 3) dinamakan sisi-ganda (multiple edges atau paralel edges) karena kedua sisi ini menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3.
  • Pada G3, sisi e8 = (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) karena ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

B.     Digraph terhubung

a.      Definisi graph terhubung
Misalkan titik v dan w pada graph G, jika titik v dan w dihubungkan dengan suatu sisi e, maka v dan w dikatakan terhubung langsung.
Misalnya sebuah graph G di bawah ini:
Definisi.gif
Maka u dan v terhubung langsung, u dan w tidak terhubung langsung, tapi terhubung.
b.      Walk (jalan)

Contoh:
Walk.gif
v1e1v2, v2e2v4, v4e4v3, v3e3v2, v2e6v6, v6e7v5, v5e5v3, atau disingkat
v1 v2 v4 v3 v2 v6 v5 v3.
Definisi: Walk (Jalan) adalah sederetan bergantian dari titik dan sisi, di mulai dari titik dan berakhir juga pada suatu titik.
Catatan:
1.      Titik dan sisi boleh berulang
2.      Jika titik awal sama dengan titik akhir disebut walk tertutup.
Berikan 3 contoh walk dari graph di bawah ini.
Walk1.gif 
c.       Trail (tapak)
Contoh:
Trail.gif
Pada graph diatas maka trail yang mungkin antara lain:
v3 v7 v4 v1 v2 v7 v8 v5 v6,
v7 v4 v1 v2 v5 v8 v7 v3 v1 v7 (Trail Tertutup)
DEFINISI: Trail adalah walk (jalan) dengan sisi-sisi yang berbeda (tidak boleh berulang).

d.      Path (lintasan)
Contoh: Perhatikan contoh graph pada trail diatas. Path yang mungkin antara lain:
v3 v7 v4 v1 v2 v5 v6
v7 v1 v4 v5 v2 v7 (path tertutup)
DEFINISI: Path adalah trail dengan titik-titiknya semuanya berbeda, kecuali untuk path tertutup di mana titik awal dan titik akhir sama.
e.       Sikel (cycle) atau sirkuit (circuit)
Contoh: Perhatikan contoh graph pada walk diatas. Sikel yang mungkin antara lain:
[v3 v1 v4 v5 v8 v7 v3],
[v7 v4 v1 v2 v5 v8 v7]
Definisi: Sikel adalah path tertutup
Definisi: Graph yang tidak punya sikel disebut graph asikel (asiklik)
Contoh graph di bawah ini adalah graph asiklik
Definisi: Panjang walk, trail, path dan sikel adalah banyaknya sisi yang terdapat didalam walk, trail, path dan sikel tersebut.
Definisi: Panjang sikel dari suatu graph G(C(G)) yang terbesar adalah panjang sikel yang terpanjang dari graph G tersebut.
Coba anda tentukan panjang sikel terbesar dari graph pada contoh trail diatas.
Teorema: Sebuah walk u – v dalam sebuah graph G berisi sebuah path u – v 
Bukti:
Misalkan W adalah walk u – v di G.
Andaikan W=u=u0, u1, u2, ….. ,un=v sebuah walk terbuka u – v di G.
Pada W mungkin memuat titik yang muncul lebih dari satu kali (perhatikan definisi walk).
Andaikan W=u=u0, u1, u2, ….. ,ui, ui+1, ui+2, ….. , ui, uj, uj+1, ….. ,un=v, dari W ini dihapus ui+1, ui+2, ….. , ui.
Diperoleh W1=u= u0, u1, u2, ….. ,ui, uj+1, ….. ,un=v.
Tentu banyak suku pada W1 lebih kecil dari W. Jika dalam W1 masih terdapat titik yang muncul lebih dari satu kali, maka proses dilanjutkan seperti diatas sampai kita peroleh sebuah lintasan u – v.
C.     Graph Euler

Graph Euler mula-mula muncul pada tahun 1736, ketika seseorang matematikawan dari Swiss Leonhard Euler mencoba memecahkan masalah yang dikenal dengan nama The Konigsberg Bridge Problem seperti di bawah ini.
jembatan-2
Masalahnya adalah mungkinkah dimulai dari suatu tempat mengunjungi setiap tempat dengan melewati ketujuh jembatan tersebut tepat satu kali kemudian kembai ketempat semula?
Definisi graph Euler: Graph terhubung G dinamakan graph Euler jika ada trail tertutup yang memuat sisi di G. Trail tersebut disebut trail Euler.
Teorema : jika G graph terhubung, maka G graph Euler jika dan hanya jika setiap titik berderajat genap.
Teorema : sebuah graph nontrivial terhubung, maka G mengandung trail Euler jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua titik yang berderajat ganjil. selanjutnya trail dimulai dari salah satu titik yang berderajat ganjil dan berakhir dititik yang berderajat ganjil yang lain.
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

Contoh :

Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1
Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3
Sirkuit Euler pada graf (c)    : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1
Sirkuit Euler pada graf (d)    : a, c, f,  e, c, b, d, e, a, d, f, b, a
Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler
Dimana :(a) dan (b) graf semi-Euler
(c) dan (d) graf Euler
(e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler
Teorema  :Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
Teorema :Graf tidak berarah G adalah graf Euler (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul berderajat genap.
(Catatlah bahwa graf yang memiliki sirkuit Euler pasti mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya)

Teorema  :Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih besar dari derajat-keluar.
(a) Graf  berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a)
(b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b)
(c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler












D.    Algoritma Fleury
Jika G merupakan graph Euler, maka langkah-langkah berikut selalu dijalankan dan menghasilkan trail Euler di G.
            1.        Pilih titik awal u
            2.        Jalankan dengan selalu harus memenuhi syarat sebagai berikut :
                       a.        Hapuslah sisi-sisi yang sudah dilewati, apabila dengan menghapus tadi menghasilkan titik terasing hapus juga titik itu.
                       b.        Gunakan jembatan hanya bila terpaksa (pilihan terakhir).
e
 
a
 
c
 
            Contoh :
 

f
 
d
 
u
 
b
 

            Pilih titik u. ua, ab dihapus, bu tidak bias dipilih karena merupakan jembatan, pilih bc, cd dan hapus, kemudian db, bu, ue, ef, dan fu.
            Jadi trail Eulernya adalah u a b c d b u e f u.













BAB III
PENUTUP
A.    Kesimpulan
Graph Euler mula-mula muncul pada tahun 1736, ketika seseorang matematikawan dari Swiss Leonhard Euler mencoba memecahkan masalah yang dikenal dengan nama The Konigsberg Bridge Problem
Definisi graph Euler: Graph terhubung G dinamakan graph Euler jika ada trail tertutup yang memuat sisi di G. Trail tersebut disebut trail Euler.
Teorema : jika G graph terhubung, maka G graph Euler jika dan hanya jika setiap titik berderajat genap.
Teorema : sebuah graph nontrivial terhubung, maka G mengandung trail Euler jika dan hanya jika G mempunyai tepat dua titik yang berderajat ganjil. selanjutnya trail dimulai dari salah satu titik yang berderajat ganjil dan berakhir dititik yang berderajat ganjil yang lain.
Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali.
Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph). Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

B.     Saran
Bagi pembaca yang ingin lebih memahami tentang teory graph khususnya Graph Euler, mungkin makalah ini dapat membantu pembaca. Namun lebih baik lagi jika pembaca menambah literatur lain untuk lebih memahami tentang pembahasan ini.
Semoga makalah ini bermanfaat.










DAFTAR PUSTAKA
Hand Out Mata Kuliah Teory graph.
http//: graph/sirkuit-euler.htm (16 november 2011)
http//: graph/lintasan-dan-sirkuit-euler.html (16 november 2011)